2022年高中起点专科、高中起点本科《数学》（文科/理科）大纲解析

　　数学科考试旨在测试中学数学基础知识、基本技能、基本方法，考查数学思维能力，包括：空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等，以及运用所学数学知识和方法分析问题和解决问题的能力。

　　考试分为理工农医和文史财经两类。理工农医类复习考试范围包括代数、三角、平面解析几何、立体几何和概率与统计初步五部分.文史财经类复习考试范围包括代数、三角、平面解析几何和概率与统计初步四部分。

　　考试中可以使用计算器。

　　考试内容的知识要求和能力要求作如下说明：

　　1.知识要求

　　本大纲对所列知识提出了三个层次的不同要求.三个层次按由低到高顺序排列，且高一级层次要求包含低一级层次要求。三个层次分别为：

　　了解：要求考生对所列知识的含义有初步的认识，识记有关内容，并能进行直接运用。

　　理解、掌握、会：要求考生对所列知识的含义有较深的认识，能够解释、举例或变形、推断，并能运用知识解决有关问题。

　　灵活运用：要求考生对所列知识能够综合运用.并能解决较为复杂的数学问题。

　　2.能力要求

　　逻辑思维能力：会对问题进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用演绎、归纳和类比进行推理；能准确、清晰、有条理地进行表述。

　　运算能力：理解算理，会根据法则、公式、概念进行数、式、方程的正确运算和变形：能分析条件，寻求与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计.能运用计算器进行数值计算。

　　空间想象能力：能根据条件画出正确图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合、变形。

　　分析问题和解决问题的能力：能阅读理解对问题进行陈述的材料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述。

　　重难点分析与经典例题

　　【例1】解不等式3x²-16x-35≤0。

　　解法一  不等式x²的系数a=3＞0，判别式

　　△=(-16)²-4×3×(-35)＞0。

　　又由3x²-16x-35=(x-7)(3x+5)=0知其两根

　　x₁=7,x₂=-5/3

　　所以不等式的解集为｛x|-5/3≤x≤7｝。

　　解法二  一元二次方程(x-7)(3x+5)=0有两个相异实数根x₁=-5/3，x₂=7，由于x²的系数3>0，抛物线开口向上，使(x-7)(3x十5)≤0的x值为-5/3≤x≤7，这就是所求的解。

　　【重点难点】(1)先看二次项式系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正；

　　(2)写出相应的方程ax²+bx+c=0(a>0)；

　　(3)计算判别式△。

　　①△≥0时，求出两根x₁，x₂，且x₁<x₂(灵活运用因式公解法和配方法)；

　　②△=0时，求根x₁=x₂=-b/2a；

　　③当△≤0时，方程无解。

　　(4)根据不等式，写出解集。

　　【例2】已知sinα十cosα=3/5， 则sin2α=（ ）。

　　解：利用完全平方公式，得

　　(sinα+cosα)²=cos²α+sin²α+2cosαsinα=1+sin2α。①

　　将已知条件代人上式得

　　sin2α=(sinα+cosα)²-1=(3/5)²-1=-16/25。

　　【重点难点】  恒等式①将sinθ，cosθ两者之和(差) 与两者之积联系起来，只要已知其中的和(差) 或积的值，便可求出另一个的值。恒等式(sinθ±cos()2θ=1±sin2θ常要用到，但只要掌握其推导的方法，不必死记。

　　【例3】函数y=1/2sin²x的周期是（ ）。

　　A.π B.2π C.π/2 D.4π

　　解：A.由倍角公式的变形得

　　y=1/2sin²x=1/4（1-cos2x）=1/4-1/4cos2x。

　　由于1/4是常数，这个函数的最小正周期T便由-1/4cos2x来确定T=2π/2=π。

　　【重点难点】一般说来，y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的最小正周期T仅与Asin(ωx+φ)或Acos(ωx+φ)中的ω有关,与常数项B无关，即T=2π/|ω|,注意T中的分母为正，正弦和余弦是一次的.

　　【例4】两圆x²+y²-2x=0与x²+y²-4x=0 （ ）

　　A.外切 B.内切 C.相交 D.外离

　　解：B.

　　【重点难点】

　　两圆的位置关系可由两圆的半径和圆心距(两圆圆心的距离)之间的关系来确定，设两圆的半径分别为r₁与r₂，圆心距为d。

　　(1)两圆外离一d＞r₁+r₂；

　　(2)两圆外切一d=r₁+r₂；

　　(3)两圆相交一r₁-r₂＜d＜r₁+r₂(r₁≥r₂)；

　　(4)两圆内切一d=r₁-r₂(r₁＞r₂)。

　　考试形式及试卷结构

　　考试采用闭卷笔试形式.全卷满分为150分，考试时间为120分钟。

　　试卷结构-文史财经类

　　(一)试卷内容比例

　　代数：约55%

　　三角：约15%

　　平面解析几何：约20%

　　概率与统计初步：约10%

　　(二)题型比例

　　选择题：约55%

　　填空题：约10%

　　解答题：约35%

　　(三)试题难易比例

　　较容易题：约40%

　　中等难度题：约50%

　　较难题：约10%

　　答题方法与技巧

　　1.解选择题的基本方法有直接法、排除法，特例法、验证法和数形结合法.但大部分选择题的解法是直接法，在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”“小题巧做”上做文章，切忌盲目地采用直接法。

　　2.由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会误人“陷阱”，应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证，既谨慎选择，又大胆跳跃。

　　3.作为平时训练，解完一道题后，还应思考一下能不能用其他方法进行“巧算”，并注意及时总结，这样才能有效地提高解选择题的能力。

　　4.解填空题的一般方法是直接法，除此以外，对于带有一般性命题的填空题可采用特例法，和图形、曲线等有关的命题可考虑数形结合法.解题时，常常需要几种方法综合使用，才能迅速得到正确的结果。

　　5.解填空题不要求求解过程，结论是判断是否正确的唯一标准，因此解填空题时要注意认真审题、明确要求，思维严谨、周密，计算有据，准确；要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论；要重视对所求结果的检验。

　　6.数学考试重在考察对公式、定理的理解应用，对掌握不牢的公式、定理可在考前突击记忆。

　　重难点分析与经典例题

　　【例1】已知二次函数y=ax²+bx+c图像的顶点坐标为(2，3)，且经过点(3，1)，则a.b.c的值分别为（ ）。

　　解：因为点(2.3)是函数y=ax²+bx+c图像的顶点，由二次函数的顶点式，得

　　y=a(x-2)²+3 ①

　　又其图像过点(3，1)，所以a(3-2)²+3=1。

　　由此得：

　　a=-2 ②

　　将②代人①，得y=-2(x-2)²+3，即y=-2x²+8x-5

　　于是a=-2，b=8，c=-5

　　【重点难点】

　　求二次函数y=ax²+bx+c的解析式，即要确定其中的待定常数a，b，c。如果已知二次函数图像的顶点坐标或与顶点坐标有关的量，可考虑用二次函数的顶点式来求。

　　【重点难点】

　　在三角函数的计算、化简或证明中，应注意分析“已知”“未知”或原式中角的关系。

　　【例3】两圆z²+y²-2x=0与z²+y²-4x=0 （ ）。

　　A.外切 B.内切 C.相交 D.外离

　　解：B

　　【重点难点】

　　两圆的位置关系可由两圆的半径和圆心距(两圆圆心的距离)之间的关

　　系来确定.设两圆的半径分别为r₁与r₂，圆心距为d.

　　(1)两圆外离一d＞r₁+r₂；

　　(2)两圆外切一d=r₁+r₂；

　　(3)两圆相交一r₁-r₂＜d＜r₁+r₂(r₁≥r₂).

　　(4)两圆内切一d=r₁-r₂(r₁＞r₂).

　　【例4】

　　求函数f(x)=x.x³-2x²+5在区间[一2，2]上的最大值与最小值。

　　解：f'(x)=4x³-4x=4x(x+1)(x-1)。

　　令f'(x)=0,即4x(x+1)(x-1)=0，则x=0或x=±1.

　　又f(1)=f(-1)=4，f(0)=5，f(2)=f(-2)=13.所以f(x)的最大值为13，f(x)的最小值为4。

　　【重点难点】

　　本例介绍了求函数f(x)在区间［a.b]是最值的一种方法：求先出f(x)在(a，b)内的驻点及其对应的函数值。再将它(或它们)与f(a)，f(b)比较，其中最大的即f(x)的最大值，最小的即f(x)的最小值。

　　上述方法不必再判断函数的驻点是否为极值点，当然也就不必求函数f(x)在区间(a，b)内的极值，从而简化了求解的过程。

　　【例5】已知二面角α-AB-β的平面角是锐角θ。α内一点C到β的距离CE=3，点C到二面角α-AB-β的棱AB的距离CD=4，则tanθ的值等于（ ）。

　　解：连接DE，由于CE⊥β，AB（截图16）β，则CE LAB.又CD⊥AB所以AB⊥平面CDE.而

　　DE平面CDE， 故AB⊥DE，∠CDE为θ。

　　又CE⊥β，DE（截图16）β，所以CE⊥DE.

　　在Rt△CDE中，DE=

　　从而

　　【重点难点】

　　这里应用了直线与平面垂直的判定定理及直线与平面垂直的定义，作出二面角的平面角.方法是：先连接DE，再证明DE⊥AB，若先过D点在β内作AB的垂线，则要证这条垂线过点E，这样就增加了题目的难度，请留意。

　　考试形式及试卷结构

　　成人高考考试采用闭卷笔试形式，全卷满分为150分，考试时间为120分钟。

试卷结构-理工农医类

　　(一)试卷内容比例

　　代数：约45%

　　三角：约15%

　　平面解析几何：约20%

　　立体几何：约10%

　　概率与统计初步：约10%

　　(二)题型比例

　　选择题：约55%

　　填空题：约10%

　　解答题：约35%

　　(三)试题难易比例

　　较容易题：约40%

　　中等难度题：约50%

　　较难题：约10%

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