2019年成人高等学校招生全国统一考试专升本

高等数学(一)

　　本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间150分钟.

　　第Ⅰ卷(选择题，共40分)

　　一、选择题(1~10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

　　1.当x→0时，x+x²+x³+x⁴为x的【A】

　　A.等价无穷小 B.2阶无穷小 C.3阶无穷小 D.4阶无穷小

　　【考情点拨】本题考查了等价无穷小的知识点.

　　【考情点拨】，故x+x²+x³+x⁴是的等价无穷小.

　　2. 【D】

　　A.-e² B.-e  C.e  D.e²

　　【考情点拨】本题考查了两个重要极限的知识点.

　　【应试指导】

　　3.设函数y=cos2x， 则y'=【B】

　　A.2sin2x B.-2sin2x C.sin2x D.-sin2x

　　【考情点拨】本题考查了复合函数的导数的知识点.

　　【应试指导】y'=(cos2x)'=-sin2x·(2x)'=-2sin2x.

　　4.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)可导，f'(x)>0，f(a)f(b)<0，则f(x)在(a,b)内零点的个数为【C】

　　A.3 B.2 C.1 D.0

　　【考情点拨】本题考查了零点存在定理的知识点.

　　【应试指导】由零点存在定理可知，f(x)在(a,b)上必有零点，且函数是单调函数，故其在(a,b)上只有一个零点.

　　5.设2x为f(x)的一个原函数，则f(x)=【B】

　　A.0  B.2  C.x²  D.x²+C

　　【考情点拨】本题考查了函数的原函数的知识点.

　　【应试指导】由题可知∫f(x)dx=2x+C，故f(x)=(∫f(x)dr)'=(2x+C)'=2.

　　6.设函数f(x) =arctan x， 则∫f'(x)dx=【C】

　　A.-arctanx+C  B.-(1/(1+x²))+C  C.arctanx+C  D.(1/(1+x²))+C

　　【考情点拨】本题考查了不定积分的性质的知识点.

　　【应试指导】∫f'(x)dx=f(x) +C=arctanx+C

　　7.设 则【A】

　　A.I₁>I₂>I₃  B.I₂>I₃>I₁  C.I₃>I₂>I₁  D.I₁>I₃>I₂

　　【考情点拨】本题考查了定积分的性质的知识点.

　　【应试指导】在区间(0,1)内，有x²>x³>x⁴，由积分的性质可知。 即I₁>I₂>I₃.

　　8.设函数  【D】

　　A.0  B.1/2  C.1  D.2

　　【考情点拨】本题考查了二元函数的偏导数的知识点.

　　【应试指导】

　　9.平面x+2y-3z+4=0的一个法向量为【C】

　　A.{1,-3,4}  B.{1,2,4}  C.{1,2,-3}  D.{2,-3,4}

　　【考情点拨】本题考查了平面的法向量的知识点.

　　【应试指导】平面的法向量即平面方程的系数{1,2,-3}.

　　10.微分方程yy'+(y')3+y4=x的阶数为【B】

　　A.1  B.2  C.3  D.4

　　【考情点拨】本题考查了微分方程的阶的知识点.

　　【应试指导】微分方程中导数的最高阶数称为微分方程的阶，本题最高是2阶导数，故本题阶数为2.

　　第Ⅱ卷(非选择题，共110分)

　　二、填空题(11~20小题，每小题4分，共40分)

　　11. 

　　【答案】2

　　【考情点拨】本题考查了等价无穷小的代换定理的知识点.

　　【应试指导】

　　12.若函数 在点x=0处连续，则a=_0_.

　　【考情点拨】本题考查了函数的连续性的知识点.

　　【应试指导】由于f(x)在x=0处连续，故有

　　13.设函数y=e²ˣ，则dy=_2e²ˣdx_.

　　【考情点拨】本题考查了复合函数的微分的知识点.

　　【应试指导】dy=d(e²ˣ)=e²ˣ.(2x)'dx=2e²ˣdx.

　　14.函数f(x)=x³-12x的极小值点x=_2_.

　　【考情点拨】本题考查了函数的极值的知识点.

　　【应试指导】f'(x)=3x²-12=3(x-2)(x+2)，当x=2或x=-2时，f'(x)=0，当x<-2时，f'(x)>0；当-2<x<2时，f'(x)<0；当x>2时，f'(x)>0，因此x=2是极小值点.

　　15.

　　【答案】arcsinx+C

　　【考情点拨】本题考查了定积分的性质的知识点.

　　【应试指导】

　　16. 

　　【答案】0

　　【考情点拨】本题考查了不定积分的计算的知识点.

　　【应试指导】被积函数xtan²x在对称区间[-1,1] 上是奇函数，故

　　17.设函数x=x³+y²，dz=_3x²dx+2ydy_.

　　【考情点拨】本题考查了二元函数的全微分的知识点.

　　【应试指导】所以

　　18.设函数z=xarcsiny，则

　　【答案】0

　　【考情点拨】本题考查了二阶偏导数的知识点.

　　【应试指导】

　　19.幂级数 的收敛半径为_1_.

　　【考情点拨】本题考查了收敛半径的知识点.

　　【应试指导】,设аn=m，则有 ，故其收敛半径为 

　　20.微分方程y'=2x的通解y=_x²+C_.

　　【考情点拨】本题考查了可分离变量的微分方程的通解的知识点.

　　【应试指导】微分方程y=2是可分离变量的微分方程， 两边同时积分得∫y'dx=∫2xdx→y=x²+C。

　　三、解答题(21~28题，共70分.解答应写出推理、演算步骤)

　　21.若  ，求k.(本题满分8分)

　　【答案】

　　22.设函数y=sin(2x-1)，求y'.(本题满分8分)

　　【答案】y'=[sin(2x-1)]'=cos(2x-1)·(2x-1)'=2cos(2x-1)

　　23.设函数y=xlnx，求y”.(本题满分8分)

　　【答案】y'=(x)'lnx+x(Inx)'=lnx+1.故y''=(lnx)'=1/x.

　　24.计算  (本题满分8分)

　　【答案】

　　25.设函数 (本题满分8分)

　　【答案】

　　26.(本题满分10分)设D是由曲线x=1-y²与x轴、y轴，在第一象限围成的有界区域.求:

　　(1)D的面积S;

　　【答案】积分区域D可表示为：0≤y≤1，0≤x≤1-y²，

　　(2)D绕x轴旋转所得旋转体的体积V.

　　【答案】

　　27.求微分方程y”-5y'-6y=0的通解.(本题满分10分)

　　【答案】特征方程r²-5r-6=0，解得r₁=-1或r₂=6，

　　故微分方程的通解为y=C₁eʳ¹ˣ+C₂eʳ²ˣ=C₁e¯ˣ+C₂e⁶ˣ(C₁,C₂为任意常数)

　　28.计算  ，其中D是由曲线x²+y=1，y=x，x轴在第一象限围成的有界区域.(本题满分10分)

　　【答案】积分区域用极坐标可表示为：0≤θ<(π/4)，0≤r≤1，所以