2022年专升本《高等数学(一)》大纲解析

　　根据要求，高等数学(一)为成人高考理工类专升本层次考生的加考科目。考试大纲适用于工学、理学(生物科学类、地理科学类、环境科学类、心理学类等4个一级学科除外)专业的考生。复习时，考生要重点关注极限和连续、一元函数微分学、一元两数积分学、空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程等7部分，这是试卷的出题范围、各部分内容在高数(一)试卷中的比例分别为13%、25%、25%、20%(多元丽数微积分学和空间解析几何合并在这一部分)、7%、10%.试卷满分150分，考试时间为150分钟，共有选择题、填空题和解答题3种、试卷中容易题、中等难度题和较难题的比例为3：5：2。

　　考试大纲对考生应掌握的数学能力做了具体要求。对上述7部分的考试内容，考生要了解或理解其基本概念与基本理论，学会、掌握或熟练掌握其基本方法。考生在复习时，要注意各部分知识结构及知识的内在联系，要具有一定的抽象思维、逻辑推理、运算、空间想象等能力。

　　重点难点

　　高等数学一的知识网络图如下：

　　把握住这个知识网络，即可把握高等数学(一)的基本内容。

　　“极限”是高等数学中一个极为重要的基本概念.无论是导数，还是定积分、广义积分、曲线的渐近线，乃至无穷级数等概念无不建立在极限的基础上.根限是研究微积分的重要工具。但极限的概念与理论只是高等数学的基础知识，并不是复习的重点，复习的重点是高等数学的核心内容——微分学与积分学，特别是一元函数的微积分，对微分与积分的基本概念、基本理论、基本运算和基本应用要多下功夫。

　　考生应深刻理解高等数学中的基本概念，特别是导数与微分的定义、原函数与不定积分的定义、定积分的定义等概念。要熟练掌握基本方法和基本技能.特别是函数极限的计算，函数的导数与微分的计算，不定积分与定积分的计算，这是高等数学中一切运算与应用的基础。复习中应当狠抓基本功，从熟记基本公式做起，如基本初等函数导数公式，不定积分基本公式。要熟练掌握导数的四则运算法则及复合两数求导法则。要熟练掌摊计算不定积分与定积分的基本方法，特别是凑微分法及分部积分法。考题中会有相当数量的关于导数与微分.不定积分与定积分的基本计算题，试题并不难，考生只要达到上述要求.都能正确解答这些试题。同时，要高度重视导数与定积分的应用，如利用导数讨论函数的性质和曲线形状，利用导数的几何意义求曲线的切线方程与法线方程，利用函数的单调性证明不等式，利用定积分的换元积分法证明等式，利用定积分的几何应用求平面图形的面积和平面图形绕坐标轴旋转得到的旋转体的体积，以及二元网数的无条件极值与条件极值等。

　　经典例题

　　例2  讨论函数

　　在点x=0处的连续性。

　　因f(0-0)≠f(0+0)，故limf(x) 不存在。因此，f(x) 在点x=0处不连续。

　　例3  设函数y=f(x)=  在xₒ=1处可导，试确定常数a和b的值.

　　解  因为f(x)在xₒ=1处可导，所以在xₒ=1处连续，但

　　f(1)=a

　　故 a=1+b

　　再由于f(x)在xₒ=1处可导，其左、右导数存在且相等，即f'-(1)=f'+(1)，于

　　故a=2.将a=2代入a=1+b，得b=1。

　　利用f'-(1)=f'+(1)的条件也可用如下方法，用求导的方法可得

　　又f'(1)存在，故f'(1)=f'-(1)=f'(1)，但

　　于是a=2，再利用在x=1的连续结果a=1+b，得b=1。

　　例4 求由方程xʸ=yˣ（图）确定的函数x(y)的导数。

　　解 两端取对数，得ylnx=xlny

　　注意x是y的函数，两端对y求导，得

　　整理得

　　若对方程取对数后两端求微分，得

　　则

　　对只有相乘、相除、乘幂、根式和指数等运算的函数，用对数求导法常常比较方便.对于幂指函数（图32）(u(x)＞0)，可以利用指数函数与对数函数的关系，将其化为

　　再利用复合函数求导法则求导，得

　　例5  证明1+a≤eˣ

　　证明 只需证eˣ-x-1≥0即可。为此，构造辅助函数f(x)=eˣ-x-1，在以0和x为端点的区间上对函数f(x)应用拉格朗日中值定理，得到

　　f(x)-f(0)=f'(ξ)(x-0)，即f(x)-(eε-1)（ξ在0与x之间）。

　　当x＜0时,x＜ξ＜0。故

　　f(x)=x(eε-1)＞0,即eˣ-x-1＞0

　　当x＞0时，0＜ξ＜x，eε-1＞0，故

　　f(x)=x(eε-1)＞0，即eˣ-x-1＞0

　　当x=0时，f(x)=0，即eˣ-x-1=0.

　　故对任何x，均有eˣ-x-1≥0，即1+x≤eˣ

　　该题也可以做辅助函数y=eˣ.在[x,0]及[0,xl上分别应用拉格朗日中值定理，证明方法类似。

　　例6 证明：当x≥0时，x≥arctanx。

　　证明  设f(x)=x一arctanx(x≥0)，f(0) =0-arctanx=0，

　　可知f(x) =x-arctanx在(0,+∞) 内单调增加，即当x≥0时，f(x) ≥f(0)，即x-arctanx≥0，

　　故x≥0时，x≥arctanx

　　用函数的单调性证明不等式，可先将不等式两边的分析式移到不等式的一边，一般将待证的不等式的右端项全部移到左端，再令左端为f(a).f(x)即为构造的辅助函数，此时问题转化为：在文的变化区间内，要证明f(x)＞0(或＜0)，需证明f'(x)＞0(或f'(x)＜0)；再适当地考虑端点的情形，即得所要证明的不等式。

　　答题方法与技巧

　　对于数学的学习多运用多实践很重要，所以要加强练习.注重解题思路和解题技巧的训练，对基本概念、基本理论、基本性质进行多侧面、多层次、由此及彼、由表及里的辨析。如由导数与微分的概念推广到偏导数与全微分的概念，由不定积分与定积分的概念推广到二重积分的概念，比较它们之间的异同，分析它们之间的内在联系与本质区别。只要把这些关系理清.则可从掌握导数与微分的运算上升到掌握偏导数与全微分的运算，从掌握不定积分与定积分的运算上升到二重积分的运算。学习无穷级数时要注意以极限为工具，判断无穷级数的收敛性是以是否存在为依据的.数项级数收敛的必要条件是极数项趋于零.此外，正项级数收敛性的判定，极限形式的比较判别法、达朗贝尔比值法，以及求幂级数的收敛半径、收敛区间，都涉及到极限的计算。常微分方程可看作是积分的应用，求解可分离变量的微分方程时，在分离变量后需两边同时积分.用公式法或常数变易法求解一阶线性微分方程时也需求不定积分。

　　对基本公式、基本方法、基本技能要进行适度、适量的练习，在做题的过程中熟悉运算公式和运算法则，在练习的过程中加强理解与记忆。理解和记忆是相辅相承的，在理解中加深记忆，记忆有助于更深入地理解，理解愈深.记忆愈牢。练习中应注意分析与类比，掌握思考问题和解决问题的正确方法。学会总结与归纳，寻求一般性的解题规律及解题方法，提高解题能力。

　　最后，考生可免费领取成人高考必过大礼包(考试真题6套+原题6套+考点解析手册+视频课程)-录取率99.7%。

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