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第一换元积分法(13种常用的凑微分公式)☀成考·高数二辅导


  关于成人高考专升本·高等数学二中《第一换元积分法(凑微分法)》的知识点,主要包括13种常用的凑微分公式,具体内容如下:

  

  设f(u)具有原函数F(u),u=ϕ(x)可导,则有换元公式

  

  ∫f[ϕ(x)]ϕ'(x)dx=∫f[ϕ(x)]dϕ(x)=∫f(u)du

  

  =F(u)+C=F[ϕ(x)]+C.

  

  不过,待求不定积分的被积函数,并不一定恰好能写成上述要求的形式,例如∫sin(2x+1)dx,中间变量ϕ(x)=2x+1,但∫sin(2x+1)dx≠∫sin(2x+1)(2x+1)'dx,为了“凑”成可用第一换元法的形式,考虑到(2x+1)'dx=2dx或dx=(1/2)·(2x+1)'dx,从而∫sin(2x+1)dx=∫sin(2x+1)·(1/2)(2x+1)'dx=(1/2)∫sin(2x+1)d(2x+1)=-(cos(2x+1))/2,这就转化为可用第一换元法的情形,在用第一换元积分法常常需要“凑”出中间变量的导数(或微分),因此第一换元法又叫做凑微分法.

  

  常用的凑微分公式:

  

  (1)f(ax+b)dx=(1/a)f(ax+b)d(ax+b)(a≠0).

  

  (2)f(axᴷ+b)xᴷ¯¹dx=(1/ka)f(ax+b)d(axᴷ+b)(a≠0,k≠0).

  

  (3)f(1/x)·(1/x)dx=-f(1/x)d(1/x)

  

  四川四川成人高考网-高起专升本-高等数学二考点图67.png

  

  (5)f(eˣ)·eˣdx=f(eˣ)deˣ.

  

  (6)f(lnx)·(1/x)dx=f(lnx)d(lnx).

  

  (7)f(sinx)·cosxdx=f(sinx)d(sinx).

  

  (8)f(cosx)·sinxdx=-f(cosx)d(cosx).

  

  (9)f(tanx)·sec²xdx=f(tanx)d(tanx).

  

  (10)f(cotx)·cscx²dx=-f(cotx)d(cotx) .

  

  四川四川成人高考网-高起专升本-高等数学二考点图62.png

  

  (13)f(arctanx)·dx/(1+x²)=f(arctanx)d(arctanx).